SISTEM BILANGAN REAL (R)

Sifat-Sifat yang akan dikaji:

o      Sifat Aljabar

o      Sifat Urutan

o      Sifat Kelengkapan

Operasi Biner

Yang dimaksud dengan operasi biner pada himpunan A adalah fungsi dari AxA ke A.

Contoh

            + : R x R ® R

           (x,y) ® +(x,y) = x + y

Aksioma 1.1.1
(Sifat Aljabar dari R)

Untuk setiap a, b, c Î R, dengan 2 operasi biner penjumlahan (+) dan Perkalian (.) berlaku sifat:

(A1)   a + b = b + a

(A2)  (a + b) + c = a + (b + c)

(A3)  terdapat 0  Î R,  sehingga  a + 0 = a = 0 + a;

(A4)  terdapat -a Î R,  sehingga a + (-a) = 0 = (-a) + a;

(M1)  a. b = b . a

(M2)  (a.b).c = a.(b.c)

(M3)  terdapat 1 Î R, 1 ¹ 0, sehingga a.1 = a = 1.a

(M4)  untuk a ¹ 0, terdapat 1/a Î R,  sehingga a.1/a = 1 = a.1/a;

(D)               a.(b+c) = a.b + a.c

Selanjutnya (R,+.) disebut lapangan (field),

0 disebut elemen nol dan 1 disebut elemen satuan

Teorema 1.1.2
(1). Jika  z, a Î R sehingga z + a = a , maka z = 0
(2). Jika u, b  Î R;  u.b = b dan b ¹ 0 , maka u = 1

Bukti (1) Diketahui bahwa z + a = a . Dengan menambahkan  (-a) pada kedua ruas diperoleh

                        (z + a) + (-a) = a + (-a)

Jika berturut-turut diaplikasikan (A2), (A4), dan (A3) pada ruas kiri maka diperoleh

            (z + a) + (-a) = z + (a + (-a))     sifat A2

                      = z + 0                 sifat A4

                      = z                       sifat A3

Selanjutnya, jika diaplikasikan (A4) pada ruas kanan maka diperoleh

                                    a + (-a) = 0

Jadi disimpulkan bahwa  z = 0.

Dari sifat ini berarti bahwa elemen nol tunggal.

Bukti: (2).

Diketahui u, b  Î R;  u.b = b dan b ¹ 0. Berdasarkan (M4) terdapat 1/b di R sedemikian hingga b.(1/b) = 1.

Jika kedua ruas dari u.b = b dikalikan dengan 1/b maka diperoleh:

                        (u.b).(1/b) = b.(1/b)                                      (*)

Selanjutnya jika diaplikasikan berturut-turut (M2), (M4) dan (M3) pada ruas kiri, maka diperoleh

                             (u.b).(1/b) = u.( b.(1/b))         sifat M2

                                             = u.1                      sifat M4

                                             = u                         sifat M3

Jika diaplikasikan (M4) pada ruas kanan, maka diperoleh

                               b.(1/b) = 1

Jadi dari hubungan (*) disimpulkan bahwa  u = 1.

Dari sifat ini berarti elemen satuan 1 tunggal.

Teorema 1.1.3  
(1). Jika a, b Î R  sehingga a + b = 0 , maka  b = -a
(2). Jika a, b  Î R; a ¹ 0 sehingga a.b = 1 , maka b = 1/a

Bukti (1) Diketahui bahwa a + b = 0 . Dengan menambahkan  -a pada kedua ruas, maka diperoleh

                     (-a) + (a + b) = (-a) + 0

Dengan (A2), (A4), dan (A3) pada ruas kiri, diperoleh

             (-a) + (a + b) = ((-a) + a) + b = 0 + b = b

Jika diaplikasikan (A3) pada ruas kanan, maka

                                     (-a) + 0 = -a

Jadi disimpulkan bahwa  b = -a.

Dari sifat ini berarti elemen invers thd (+) tunggal

Teorema 1.1.4  Jika a, b  Î R, maka:
(1). Persamaan a + x = b  mempunyai penyelesaian tunggal x = (-a) + b.
(2). Jika a ¹ 0 maka persamaan  ax = b mempunyai penyelesaian
     tunggal  x = (1/a)b.

Bukti (1) Dengan mengaplikasikan (A2), (A4), (A3), diperoleh

                  a + (-a + b) = (a + (-a)) + b = 0 + b = b

yang berakibat(-a + b) penyelesaian dari a + x = b.

Selanjutnya ditunjukkan penyelesaian tersebut tunggal.

Misalkan z penyelesaian lain persamaan tersebut, maka a + z = b , dan jika ditambahkan (-a)  pada kedua ruas, maka diperoleh

                                    (-a) + (a + z) = (-a) + b

Selanjutnya dengan mengaplikasikan (A2), (A4), dan (A3) pada ruas kiri, maka

                        (-a) + (a + z) = ((-a) + a) + z = 0 + z = z

o Jadi disimpulkan bahwa  z = (-a) + b.

Teorema 1.1.5  
Jika a  Î R; maka
(1).  a.0 = 0                             (2).  (-1).a = -a
(3). –(-a) = a                           (4). (-1)(-1) = 1

Bukti (1) Dari (M3), a.1 = a, sehingga dengan menambahkan a.0  dan menerapkan (D) dan (M3) akan diperoleh   

            a + a.0 = a.1 + a.0 = a.(1+0) = a.1 = a .

Dengan Teorema 1.1.2 (1), disimpulkan a.0 = 0.

Teorema 1.1.6 
Misalkan a, b, c  Î R,
(1). Jika  a ¹ 0 , maka 1/a ¹ 0 dan 1/(1/a) = a.
(2). Jika ab = ac dan a ¹ 0 , maka b = c.
(3). Jika ab = 0 , maka a = 0 atau b = 0

Bukti: (1).  Untuk a ¹ 0 , maka  1/a ada.

Jika 1/a = 0, maka 1 = a.(1/a) = a. 0 = 0, sehingga bertentangan dengan (M3).

Jadi 1/a ¹ 0. Selanjutnya karena (1/a).a = 1, maka dengan Teorema 1.1.3 (2) diperoleh 1/(1/a) = a.

Teorema  1.1.7
Tidak ada bilangan rasional r sehingga r² = 2.

Bukti: Andaikan terdapat bilangan rasional r sehingga r² = 2 . Oleh karena itu terdapat bilangan bulat p dan q dengan  q ¹ 0 sehingga (p/q)² = 2.  Tanpa mengurangi keumuman diasumsikan p, q bilangan positif  dengan faktor persekutuan terbesar 1. Karena  p² = 2q² , maka p²  bilangan genap. Akibatnya p juga bilangan genap. Karena jika p ganjil, maka p² juga ganjil. Karena 2 bukan faktor persekutuan dari  p dan q, maka q bilangan ganjil. Selanjutnya, karena p genap, maka  p = 2m untuk suatu  m Î Z. Akibatnya  2m² = q^2.  Jadi q²  bilangan genap, sehingga q juga bilangan genap. Terdapat kontradiksi bahwa q adalah bilangan asli yang genap sekaligus ganjil. Jadi, pengandaian di atas salah.             

Aksioma 1.2.1
(Sifat–Sifat Urutan dari R)

Terdapat himpunan bagian tak kosong P dari R yang disebut himpunan bilangan real positif, yang memenuhi sifat-sifat berikut :

o    Jika  a, b Î P maka a + b Î P.

o    Jika  a, b Î P maka  a.b Î P.

o    Jika a Î R  maka tepat satu dari di bawah  

     ini akan dipenuhi:

                        a Î P,     a = 0 -a Î P

Definisi 1.2.2

o Jika a Î P, maka dikatakan bahwa a bilangan real positif dan ditulis a > 0. 

o Jika  a Î P È {0} , maka dikatakan bahwa       a bilangan real nonnegatif dan ditulis a ≥ 0.

o  Jika  -a Î P, maka dikatakan bahwa             a bilangan real negatif dan ditulis a < 0.

o Jika -a Î P È {0} , maka dikatakan bahwa    a bilangan real nonpositif dan ditulis a ≤ 0.

Definisi 1.2.3

Misalkan a, b Î R .

(a)  Jika a – b Î P, maka kita tulis  a > b

      atau  b < a.

(b)           Jika a – b Î P È {0}, maka ditulis a ≥ b

     atau  b ≤ a.

Teorema  1.2.4

Misalkan a, b, c Î R.

(a)           Jika a > b  dan b > c, maka a > c.

(b)            Dipenuhi tepat satu dari:

                         a > b, a = b atau a < b.

(c)           Jika a ≥ b dan a ≤ b, makaa = b.

Teorema 1.2.5

(a) Jika a Î R dan a ≠ 0, maka a² > 0.

(b) 1 > 0.

(c) Jika n Î N, maka n > 0.

Teorema 1.2.6

Misalkan a, b,c, d Î R.

(a) Jika a > b, maka a + c > b + c.

(b) Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

(c) Jika a > b dan c > 0, maka ca > cb 

      Jika a > b dan c < 0, maka ca < cb.

(d) Jika a > 0, maka 1/a > 0

     Jika a < 0, maka 1/a < 0.

Teorema 1.2.7

Jika a, b Î Â dan a < b, maka a < ½ (a + b) < b.

Akibat  1.2.8

Jika b Π  dan b > 0, maka 0 < ½ b < b.

Teorema 1.2.9  

Jika a Î Â dan  0 £ a < e untuk setiap e > 0, maka a = 0.

Definisi 1.3.1

Untuk a Î R, harga mutlak dari a, dinotasikan |a|, dan didefinisikan dengan

           |a| =  a  jika a ≥ 0 dan

                = -a  jika a < 0.

Teorema 1.3.2

(a)  |a| = 0 jika dan hanya jika a = 0.

(b) |-a| = |a| untuk semua a Î R.

(c) |ab| = |a| |b| untuk semua a, b Î R .

(d) Jika c ≥ 0, maka |a| ≤ c jika dan

      hanya jika –c ≤ a ≤ c.

(e)  - |a| ≤ a ≤ |a| untuk semua a Î R.

Bukti Teorema 1.3.2

(a) Dari definisi, jika a = 0, maka |a| = 0.  Sebaliknya, jika  a ≠ 0 maka –a ≠ 0, sehingga |a| ≠ 0.  Jadi, jika  |a| = 0, maka a = 0.

(b) Jika a = 0, maka |0| = 0 = |-0|.  Jika  a > 0, maka –a < 0  sehingga |a| = a = -(-a) = |-a|. Jika a < 0 maka –a > 0  sehingga |a| = -a = |-a|.

(c) Jika salah satu dari a,b bernilai nol, maka baik |ab| maupun |a| |b|  sama-sama bernilai nol. Jika  a > 0 dan b > 0  maka |ab| = ab = |a| |b|.   Jika  a > 0 dan b < 0  maka ab < 0  sehingga |ab| = -(ab) = a (-b) = |a| |b|,  Sedangkan untuk dua kasus yang lain dapat dikerjakan dengan cara yang sama.

(d) Jika |a| ≤ c, maka diperoleh a ≤  c dan –a ≤ c.  Hasil ini memberikan  a ≤ c dan –c ≤ a, sehingga  -c ≤ a ≤ c. Sebaliknya, jika –c ≤  a ≤ c, maka a ≤ c dan –a ≤ c yang berarti |a| ≤ c.

(e)  Substitusikan  c = |a| ke dalam (d).       

           

Teorema 1.3.3 Ketaksamaan Segitiga
 Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku
|a + b| ≤ |a| + |b|

Bukti: Dari Teorema 1.3.2 (e), diperoleh       -|a| ≤ a ≤ |a| dan -|b| ≤ b ≤ |b|. Dengan menjumlahkan keduanya dan menerapkan Teorema 1.2.6 (b) akan diperoleh

            -(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|

Dengan Teorema 1.3.2 (d), disimpulkan bahwa                 |a + b| ≤ |a| + |b|        

Akibat 1.3.4
Jika a dan b sebarang bilangan real, maka
            (a) ||a| - |b|| ≤ |a – b|
            (b)   |a – b| ≤ |a| + |b|

Bukti (a) Perhatikan a = a – b + b. Dengan Ketaksamaan Segitiga diperoleh  

|a| = |a – b + b| ≤ |a – b| + |b|  atau |a| - |b| ≤ |a - b|.

Dengan cara yang sama

|b| = |b – a + a| ≤ |b – a| + |a|

Akibatnya

 -|a – b| = -|b – a| ≤ |a| - |b|.

Dengan menggabungkan kedua ketaksamaan ini dan menerapkan Teorema 1.3.2 (d), maka disimpulkan bahwa 

||a| - |b|| ≤ |a – b|.

(b) Dengan mengganti b pada Ketaksamaan Segitiga dengan –b maka dihasilkan |a – b| ≤ |a| + |-b|. Karena

|-b| = |b|  maka disimpulkan |a – b| ≤ |a| + |b|.

Akibat 1.3.5
 Untuk sebarang bilangan  a₁, a₂, ..., a_n di dalam R berlaku
| a₁ + a₂ + ... + a_n| ≤ |a₁| + |a₂| +  ... + |a_n|

Bukti : Diserahkan pembaca sebagai latihan.

Definisi 1.3.7
Misalkan a Î R dan e > 0. Persekitaran- e dari a didefinisikan sebagai himpunan
  V_e(a) = {x Î R : |x – a| < e}.

Teorema 1.3.8

Misalkan  a Î R. Jika x anggota dari persekitaran V_e(a) untuk setiap e > 0, maka x = a.

Bukti:  Jika x memenuhi |x – a| < e untuk setiap   e > 0, maka menurut Teorema 1.2.9 berlaku     |x – a| = 0, yaitu x = a.

1.4 Sifat Kelengkapan dari R

Definisi 1.4.1

Misalkan S himpunan bagian dari R.

(a) Bilangan  u Î R   dikatakan batas atas dari S jika berlaku  s ≤ u untuk setiap s Î S.

(b) Bilangan v Î R   dikatakan batas bawah dari S jika berlaku  v ≤ s untuk setiap s Î S.

Definisi 1.4.2

Misalkan S himpunan bagian dari  R.

(a) Jika S terbatas di atas, maka batas atas u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih kecil dari u yang merupakan batas atas dari S.

(b) Jika S terbatas di bawah, maka batas bawah v adalah infimum (batas bawah terbesar) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih besar dari v yang merupakan batas bawah dari S.

Lemma 1.4.3

Bilangan u adalah supremum dari himpunan tak kosong  S Ì R, jika dan hanya jika memenuhi:

(a)  s ≤ u untuk setiap s Î S.

(b) jika w < u,maka terdapat s’ Π S sehingga    

     w < s’.

Bukti : Bukti ditinggalkan bagi pembaca.

Lemma 1.4.4

(a) Batas atas u  dari himpunan tak kosong S Ì R, merupakan supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap e > 0 terdapat  s_e sehingga  u - e < s_e.

(b) Batas bawah v dari himpunan tak kosong  S Ì R, merupakan infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap e > 0 terdapat  s_e sehingga s_e < v + e.

Teorema 1.4.6 (Sifat Supremum dari  Â)

Setiap himpunan tak kosong di dalam  yang mempunyai batas atas pasti mempunyai supremum di dalam Â.

Teorema 1.4.7 (Sifat Infimum dari Â)

Setiap himpunan tak kosong di dalam  yang mempunyai batas bawah pasti mempunyai infimum di dalam Â.

Contoh 1.4.8

Misalkan S himpunan bagian tak kosong di dalam  yang terbatas di atas dan misalkan a Î Â.  Didefinisikan himpunan  a + S = {a + s : s Î S}. Akan ditunjukkan bahwa

sup (a + S) = a + sup S. 

Misalkan S himpunan bagian tak kosong di dalam  yang terbatas di atas dan misalkan a Î Â.  Didefinisikan himpunan  a + S = {a + s : s Î S}. Akan ditunjukkan bahwa

sup (a + S) = a + sup S. 

Sifat Archimides

Teorema (Sifat Archimides)

Jika x Î R  maka terdapat  n_x Î N  sehingga  x < n_x

Bukti (Sifat Archimides):

Andaikan teorema tidak benar, yaitu untuk setiap  n Î N terdapat x Î R sehingga n < x. Oleh karena itu x adalah batas atas dari N, sehingga dengan sifat supremum, maka himpunan tak kosong N mempunyai supremum u di dalam R.  Akibatnya terdapat m Î N sehingga u – 1 < m.  Selanjutnya diperoleh m + 1 Î N. Hal ini kontradiksi dengan asumsi u adalah batas atas dari  N.  

Akibat Sifat Archimides

Jika y dan z bilangan real positif, maka :

(a) Terdapat  n Î N  sehingga z < ny.

(b) Terdapat  n Î N  sehingga 0 < 1/n < y.

(c) Terdapat  n Î N  sehingga n – 1 £ z < n.

Bukti Akibat Sifat Archimides:

(a) Karena x = z/y > 0, maka terdapat n Î N  sehingga z/y = x < n yang berarti  z < ny.

(b) Dengan mengganti z = 1 pada (a), maka 1 < ny, sehingga `1/n < y. Jadi 0 < 1/n < y.

(c) Sifat Archimides menjamin bahwa himpunan bagian {m Î N : z < m}  di dalam N merupakan himpunan tak kosong. Misalkan n adalah elemen terkecil dari himpunan tersebut, maka n - 1 bukan anggota dari himpunan tersebut, sehingga  n – 1 £ z < n

Eksistensi Bilangan Ö2

Teorema

Terdapat bilangan real positif x sehingga x² = 2.

Bukti :

Misalkan  S = {s Î Â : 0 ≤ s, s² < 2},  karena  1 Î S, maka S tidak kosong. Selanjutnya,  jika t > 2  maka t² > 2 , sehingga t Ï S.  Jadi 2 merupakan batas atas dari S. Dengan sifat supremum, maka S mempunyai supremum di dalam R. Sekarang dimisalkan x = sup S. Perhatikan bahwa x > 1.

Akan ditunjukkan bahwa x² = 2, dengan menunjukkan bahwa tidak dipenuhi x² < 2  maupun x² > 2.

Andaikan x² < 2.

Perhatikan bahwa untuk setiap  n Î N, berlaku   1/n² £ 1/n,  sehingga

 

Karena 0 < x  dan x² < 2, maka (2 - x²)/(2x + 1) > 0. Akibatnya terdapat bilangan asli n sehingga

 

                                           

Akibatnya untuk bilangan asli n berlaku

         

Sifat Kerapatan Bilangan Real

Teorema (Kerapatan Bilangan Rasional)

Jika x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilangan rasional r sehingga

x < r < y.

Bukti:

Tanpa mengurangi keumuman bukti, diasumsikan x > 0. Dengan Sifat Archimides, terdapat bilangan asli n sehingga n > 1/(y-x). Untuk n yang demikian, diperoleh  (ny – nx) > 1. Selanjutnya, karena nx > 0, maka terdapat bilangan asli m sehingga m – 1 £ nx < m.  Sehingga m £ nx + 1 < ny. Akibatnya nx < m < ny.  Jadi r = m/n adalah bilangan rasional yang memenuhi kondisi  x < r < y.             

Akibat 
Jika x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilangan irrasional z sehingga  x < z < y.

Bukti:

Dengan menggunakan Teorema Kerapatan Bilangan Rasional,  pada bilangan real  x/Ö2 dan y/Ö2, terdapat bilangan rasional r sehingga

x/Ö2 < r < y/Ö2

Jadi z = rÖ2 adalah bilangan irrasional yang memenuhi  x < z < y.