Kamis, 24 Maret 2016

Logika Matematika



PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan,maupun para ahli merupakan hal yang sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau data dengan fakta atau data lainnya melalui suatu proses penalaran yang sahih atau valid. Sebagai akibatnya, logika merupakan ilmu yang sangat penting dipelajari. Di dalam matapelajaran matematika maupun IPA, aplikasi logika seringkali ditemukan meskipun tidak secara formal disebut sebagai belajar logika. Bagian ini akan membahas tentang logika yang didahului dengan pengertian penalaran, diikuti dengan pernyataan, perakit-perakit pembentuk: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
A.    PENGERTIAN LOGIKA
Tidak hanya di bidang ketatanegaraan maupun hukum sajakemampuan bernalar itu menjadi penting. Di saat mempelajari matematika maupun ilmu-ilmu lainnya penalaran itu menjadi sangat penting dan menentukan. Secara etimologis,  logika berasal dari kata Yunani'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bias juga berarti ilmu pengetahuan . Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan penurunan kesimpulan yang sahih (valid,correct) dan yang tidak sahih (tidak valid,incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu sering juga disebutdengan penalaran (reasoning).
B.   PERNYATAAN
 Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti yang dapat berupa pernyataan ("Pintu itu tertutup."),pertanyaan ("Apakah pintu itu tertutup?"), perintah ("Tutup pintu itu!") ataupun
Permintaan ("Tolong pintunya ditutup."). Dari empat macam kalimat tersebut, hanya pernyataan saja yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benaratau salah. Meskipun para ilmuwan, matematikawan ataupun ahli-ahli lainnya sering menggunakan beberapa macam kalimat tersebut dalam kehidupan sehari-harinya, namun hanya pernyataan saja yang menjadi perhatian mereka dalam mengembangkan ilmunya. Setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar. Suatu pernyataan (termasuk teori) tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya,
pembicaraan mengenai benar tidaknya suatu kalimat yang memuat suatu teori telah menjadi pembicaraan dan perdebatan para ahli filsafat dan logika sejak dahulu kala. Pernyataan yang dimuat di dalam suatu kalimat disebut benar dan bilamana disebut salah. Untuk menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:
a. Semua manusia akan mati.
b. Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.
Pertanyaannya, dari dua kalimat tersebut, kalimat manakah yang bernilai benar dan manakah yang bernilai salah. Pertanyaan selanjutnya, mengapa kalimat tersebut dikategorikan bernilai benar atau salah, dan bilamana suatu kalimat dikategorikan sebagai kalimat yang bernilai benar atau salah. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, Suriasumantri (1988) menyatakan bahwa ada tiga teori yang berkait dengan kriteria kebenaran ini, yaitu : teori korespondensi, teori koherensi,
dan teori pragmatis. Namun sebagian buku hanya membicarakan dua teori saja, yaitu teori
korespondensi dan teori koherensi sehingga pembicaraan kita hanya berkait dengan dua
teori tersebut.
1.    1.   Teori Korespondensi
Kalimat akan bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya. Contohnya, “Surabaya adalah ibukota Propinsi Jawa Timur” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena kenyataannya memang demikian, yaitu Surabaya memang benar merupakan ibukota  Propinsi Jawa Timur. Namun pernyataan “Tokyo adalah Ibukota Singapura”, menurut teori ini akan bernilai salah karena hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan itu tidak sesuai dengan kenyataannya. Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Dengan demikian jelaslah bahwa teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika
pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Sedangkan Matematika yang tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta semata-mata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma telah melahirkan teori koherensi yang akan dibahas pada bagian berikut ini.
2. Teori Koherensi
Teori koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten, atau tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Contohnya, 4 pengetahuan Aljabar telah didasarkan pada pernyataan pangkal yang dianggap benar. Pernyataan yang dianggap benar itu disebut aksioma atau postulat. Vance (19..) menyatakan ada enam aksioma yang berkait dengan bilangan real a, b, dan c terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) berlaku sifat:
1) tertutup, a + b R dan a.b R.
2) asosiatif, a +(b + c) = (a + b) + c dan a .(b . c) = (a . b) . c
3) komutatif, a + b = b + a dan a.b = b.a
4) distributif, a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a
5) identitas, a + 0 = 0 + a = a dan a.1 = 1. a = a
6) invers, a + (a) = (a) + a = 0 dan a.a1=a1.a = 1
Berdasar enam aksioma itu, teorema seperti b + (a + b) = a dapat dibuktikan dengan cara berikut:
b + (a + b) = b + (b + a)                  Aks 3 – Komutatif
= (b + b) + a                                      Aks 2 – Asosiatif
 = 0 + a                                                Aks    -   Invers
= a                                                       Aks 5 – Identitas
Demikian juga pernyataan bahwa jumlah sudut-sudut suatu segi-n adalah:(n 2) ×180 akan bernilai benar karena konsisten dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Dengan demikian jelaslah bahwa bangunan matematika didasarkan pada rasio semata-mata, kepada aksioma-aksioma yang dianggap benar tadi. Suatu hal yang sudah jelas benar pun harus
ditunjukkan atau dibuktikan kebenarannya dengan langkah-langkah yang benar. Dari paparan di atas jelaslah bahwa pada dua pernyataan berikut:
a) Semua manusia akan mati.
b) Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.;maka baik pernyataan a) maupun b) akan sama-sama bernilai benar, namun dengan alasan yang berbeda. Pernyataan a) bernilai benar karena pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Sampai detik ini, belum pernah ada orang yang hidup kekal dan abadi. Pernyataan a) tersebut akan bernilai salah jika sudah ditemukan suatu alat atau obat yang sangat canggih sehingga akan ada orang yang tidak bisa mati lagi. Sedangkan pernyataan b) bernilai benar karena pernyataan itukonsisten atau koheren ataupun tidak bertentangan dengan
DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI, BIIMPLIKASI DAN
NEGASINYA
Adakalanya, kita dituntut untuk menegasikan atau membuat pernyataan baru yang menunjukkan pengingkaran atas pernyataan yang ada, dengan menggunakan perakit “bukan” atau “tidak”. Di samping itu, mereka harus menggabungkan duapernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit “atau”, “dan”, “Jika ... maka ....”, maupun “... jika dan hanya jika ....” yang dikenal di matematika sebagai konjungsi, disjungsi, implikasi danbiimplikasi.  Bagian ini akan membahas perakit-perakit tersebut.
C.    PERAKIT/PERANGKAI
Perakit atau perangkai ini sering juga disebut dengan operasi. Dari satu atau dua pernyataan tunggal dapat diberikan perakit “tidak” , “dan”, “atau”, “jika ... maka ...”, dan “ ... jika dan hanya jika ... “ sehingga terbentuk suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Sub bagian ini akan membahas tentang perakit atau penggandeng tersebut.
1. Negasi
Jika p adalah "Surabaya ibukota Jawa Timur.", maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: "Surabaya bukan ibukota Jawa Timur." atau "Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Jawa Timur.". Dari contoh di atas nampak jelas bahwa p merupakan pernyataan yang bernilai benar karena Surabaya pada kenyataannya memang ibukota Jawa Timur, sehingga ~p akan bernilai salah. Namun jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai benar seperti ditunjukkan oleh tabel kebenaran di bawah ini.
      p
     ~p
     B
     S
     S
     B
2. Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi berikut : "Fahmi makan nasi dan minum kopi." Pernyataan tersebut ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut: "Fahmi makan nasi." dan sekaligus "Fahmi minum kopi." Dalam proses pembelajaran di kelas, berilah kesempatan kepada para siswa untuk
bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah dalam empat kasus berikut, yaitu: (1) Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi, (2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi, (3) Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi, dan (4) Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.: Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi. Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin Anda akan mengatakan pernyataan Adi tadi bernilai salah. Alasannya, pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya. Pada kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini, tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena meskipun Fahmi sudah makan nasi namun ia tidak minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sejalan dengan itu, pada kasus ketiga,Fahmi tidak makan nasi meskipun ia sudah minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena Fahmi tidak makan nasi sebagaimana yang dinyatakan Adi bahwa Fahmi makan nasi dan minum kopi. Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang sesungguhnya. Berdasar penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu konjungsi p q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai benar, sedangkan nilai kebenaran yang selain itu akan bernilai salah sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut.kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini, tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena meskipun Fahmi sudah makan nasi namun ia tidak minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sejalan dengan itu, pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi meskipun ia sudah minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena Fahmi tidak makan nasi sebagaimana yang dinyatakan Adi bahwa Fahmi makan nasi dan minum kopi. Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang sesungguhnya. Berdasar penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu konjungsi p q akan bernilai benar hanya jika komponen-kompone nnya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai benar, sedangkan nilai kebenaran yang selain itu akan bernilai salah sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
P
q
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
3. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau". Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi atauminum kopi." Sekarang, bertanyalah kepada diri Andasendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas akan bernilai benar dalam empat kasus berikut, yaitu: (1) Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi, (2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi, (3) Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi, dan (4) Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi. Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin Anda akan mengatakan pernyataan Adi tadi bernilai salah, karena pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya. Pada kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum
kopi. Dalam hal ini, tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai benar karena Fahmi sudah benar makan nasi meskipun ia tidak minumkopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sedangkan pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai benar karena meskipun Fahmi tidak makan nasi
namun ia sudah minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan  majemuk Adi tadi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang sesungguhnya. Ia menyatakan Fahmi makan nasi atau minum
kopi namun kenyataannya, Fahmi tidak melakukan hal itu.Berdasar penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu disjungsi p q akan
bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
p
q
p ˅ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
4. Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata "Jika" sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga kata "maka" di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional atau hypothetical dengan notasi "" seperti ini: p q Notasi di atas dapat dibaca dengan :
1) Jika p maka q,
2) q jika p,
3) p adalah syarat cukup untuk q, atau
4) q adalah syarat perlu untuk p.
Implikasi p q merupakan pernyataan majemuk yang paling sulit dipahami para siswa SMU. Untuk membantu para siswa memahami kalimat majemuk implikasi tersebut, Bapak dan Ibu Gurudapat memulai proses pembelajaran dengan berceritera bahwa Adi menyatakan pernyataan majemuk berikut ini:
Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung. Dalam hal ini dimisalkan:
p: Hari hujan. q: Adi membawa payung.
Berilah kesempatan bagi siswa untuk berpikir, dalam hal manakahpernyataan Adi tadi akan bernilai benar atausalah untuk empat kasus berikut, yaitu: (1) Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung, (2) Hari benar-benar hujan namun Adi tidak membawa payung, (3) Hari tidak hujan
namun Adi membawa payung, dan (4) Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung. Pada kasus pertama, hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung sebagaimana yang ia nyatakan. Bagaimana
mungkin ia akan dinyatakan berbohong dalam kasus ini? Dengan demikian jelaslah bahwa kedua komponen yang sama-sama bernilai benar itu telah menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang dinyatakan Adi tadi
akan bernilai benar. Pada kasus kedua, hari itu benar-benar hujan akan tetapi Adi tidak membawa payung sebagaimana yang seharusnya ia lakukan seperti yang telah dinyatakannya, bagaimana mungkin pernyataan
Adi tadi akan dinilai benar? Dengan kata lain, komponen p yang bernilai benar namun tidak diikuti dengan komponen q yang seharusnya bernilai benar juga, akan menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang
dinyatakan Adi tadi akan bernilai salah. Akhirnya, untuk kasus ketiga dan keempat, di mana hari itu tidak hujan, tentunya Anda tidak akan menyebut pernyataan majemuk (implikasi) Adi tersebut sebagai pernyataan yang salah, karena Adi hanyalah menyatakan bahwa sesuatu akan terjadi yaitu dia akan membawa payung jikalau hari hujan. Dengan demikian jelaslah bahwa implikasi p q hanya akan bernilai salah untuk kasus kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah, sedangkan yang selain itu implikasi p q akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:
p
q
p   q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
5. Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p q yang bernilai sama dengan (p q) (q p) sehingga dapat dibaca: "p jika dan hanya jika q"
atau "p bila dan hanya bila q." Tabel kebenaran dari pq adalah :
p
q
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama. Contoh biimplikasi:
1. Suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.
2. Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.
D.  INGKARAN ATAU NEGASI SUATU PERNYATAAN
1. Negasi Suatu Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi berikut : "Fahmi makan nasi dan
minum kopi." Pernyataan tersebut ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut: "Fahmi makan nasi." dan sekaligus "Fahmiminum kopi." Suatu konjungsi p q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai benar. Sedangkan negasi atau
ingkaran suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah dan bernilai salah jika pernyataan awalnya
bernilai benar. Karena itu, negasidari: "Fahmi makan nasi danminum kopi." adalah suatu pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya mer
upakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Dengan demikian, negasinya adalah “"Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi."; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
p
q
p q
~p
~q
~p ~q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
2. Negasi Suatu Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau".
Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi atau minum kopi." Suatu  disjungsi p q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar. Karenanya, negasinya adalah "Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi," sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
P
q
p q
~ p
~q
~p ~q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
S
S
B
3. Negasi Suatu Implikasi
Perhatikan pernyataan berikut yang merupakan suatu implikasi: “Jika hari hujan maka Adi membawa payung.” Negasi dari implikasi di atas adalah: “H
ari hujan akan tetapi Andi tidak membawa payung.” sehingga ~(p q) p ~q seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:
P
q
~q
p q
p ~q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
4. Negasi Suatu Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p q yang ekuivalen (p q) (q p); sehingga: ~ (p q) ~[(p q) (q p)] ~[(~p q) (~q p)] ~(~pq) ~(~q p)] (p ~q) (q ~p)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar