PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN
Kebenaran suatu teori yang
dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan,maupun para ahli merupakan hal yang
sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan
berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau data dengan fakta atau data lainnya
melalui suatu proses penalaran yang sahih atau valid. Sebagai akibatnya, logika
merupakan ilmu yang sangat penting dipelajari. Di dalam matapelajaran
matematika maupun IPA, aplikasi logika seringkali ditemukan meskipun tidak secara
formal disebut sebagai belajar logika. Bagian ini akan membahas tentang logika yang
didahului dengan pengertian penalaran, diikuti dengan pernyataan,
perakit-perakit pembentuk: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan
biimplikasi.
A.
PENGERTIAN LOGIKA
Tidak hanya di bidang ketatanegaraan
maupun hukum sajakemampuan bernalar itu menjadi penting. Di saat mempelajari
matematika maupun ilmu-ilmu lainnya penalaran itu menjadi sangat penting dan menentukan.
Secara etimologis, logika berasal dari
kata Yunani'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bias juga
berarti ilmu pengetahuan . Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu
yang mengkaji penurunan penurunan kesimpulan yang sahih (valid,correct) dan
yang tidak sahih (tidak valid,incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan
atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau
dianggap benar itu sering juga disebutdengan penalaran (reasoning).
B.
PERNYATAAN
Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki
arti yang dapat berupa pernyataan ("Pintu itu tertutup."),pertanyaan ("Apakah
pintu itu tertutup?"), perintah ("Tutup pintu itu!") ataupun
Permintaan ("Tolong pintunya
ditutup."). Dari empat macam kalimat tersebut, hanya pernyataan saja yang
memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benaratau salah.
Meskipun para
ilmuwan, matematikawan ataupun ahli-ahli lainnya sering menggunakan beberapa
macam kalimat tersebut dalam kehidupan sehari-harinya, namun hanya pernyataan
saja yang menjadi perhatian mereka dalam mengembangkan ilmunya. Setiap ilmuwan,
matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk menghasilkan suatu
pernyataan atau teori yang benar. Suatu pernyataan (termasuk teori) tidak akan
ada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya,
pembicaraan mengenai benar tidaknya
suatu kalimat yang memuat suatu teori telah menjadi pembicaraan dan perdebatan
para ahli filsafat dan logika sejak dahulu kala. Pernyataan yang dimuat di dalam
suatu kalimat disebut benar dan bilamana disebut salah. Untuk menjelaskan
tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:
a. Semua manusia akan mati.
b. Jumlah besar sudut-sudut suatu
segitiga adalah 180°.
Pertanyaannya, dari dua kalimat
tersebut, kalimat manakah yang bernilai benar dan manakah yang bernilai salah.
Pertanyaan selanjutnya, mengapa kalimat tersebut dikategorikan bernilai benar
atau salah, dan bilamana suatu kalimat dikategorikan sebagai kalimat yang
bernilai benar atau salah. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, Suriasumantri
(1988) menyatakan bahwa ada tiga teori yang berkait dengan kriteria kebenaran
ini, yaitu : teori korespondensi, teori koherensi,
dan teori pragmatis. Namun sebagian
buku hanya membicarakan dua teori saja, yaitu teori
korespondensi dan teori koherensi
sehingga pembicaraan kita hanya berkait dengan dua
teori tersebut.
1. 1.
Teori Korespondensi
Kalimat akan bernilai benar jika
hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan
keadaan yang sesungguhnya. Contohnya, “Surabaya adalah ibukota Propinsi Jawa
Timur” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena kenyataannya memang
demikian, yaitu Surabaya memang benar merupakan ibukota Propinsi Jawa Timur. Namun pernyataan “Tokyo
adalah Ibukota Singapura”, menurut teori ini akan bernilai salah karena hal-hal
yang terkandung di dalam pernyataan itu tidak sesuai dengan kenyataannya.
Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi
ini. Dengan demikian jelaslah bahwa teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu
Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika
pernyataan itu melaporkan,
mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya.
Sedangkan Matematika yang tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta
semata-mata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma telah melahirkan teori
koherensi yang akan dibahas pada bagian berikut ini.
2. Teori Koherensi
Teori koherensi menyatakan bahwa
suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di dalam
kalimat itu bersifat koheren, konsisten, atau tidak bertentangan dengan
pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Contohnya, 4 pengetahuan
Aljabar telah didasarkan pada pernyataan pangkal yang dianggap benar.
Pernyataan yang dianggap benar itu disebut aksioma atau postulat. Vance (19..)
menyatakan ada enam aksioma yang berkait dengan bilangan real a, b, dan c
terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) berlaku sifat:
1) tertutup, a + b ∈R dan a.b ∈R.
2) asosiatif, a +(b + c) = (a + b) +
c dan a .(b . c) = (a . b) . c
3) komutatif, a + b = b + a dan a.b
= b.a
4) distributif, a.(b + c) = a.b +
a.c dan (b + c).a = b.a + c.a
5) identitas, a + 0 = 0 + a = a dan
a.1 = 1. a = a
6) invers, a + (−a) = (−a) + a = 0 dan a.a1=a1.a = 1
Berdasar enam aksioma itu, teorema
seperti −b
+ (a + b) = a dapat dibuktikan dengan cara berikut:
−b
+ (a + b) = −b
+ (b + a) Aks 3 –
Komutatif
= (−b + b) + a Aks
2 – Asosiatif
= 0 + a Aks - Invers
= a Aks
5 – Identitas
Demikian juga pernyataan bahwa jumlah sudut-sudut suatu
segi-n adalah:(n −2)
×180
akan bernilai benar karena konsisten dengan aksioma yang sudah disepakati
kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah
terbukti. Dengan demikian jelaslah bahwa bangunan matematika didasarkan pada rasio
semata-mata, kepada aksioma-aksioma yang dianggap benar tadi. Suatu hal yang sudah
jelas benar pun harus
ditunjukkan atau dibuktikan kebenarannya
dengan langkah-langkah yang benar. Dari paparan di atas jelaslah bahwa pada dua
pernyataan berikut:
a) Semua manusia akan mati.
b) Jumlah besar sudut-sudut suatu
segitiga adalah 180°.;maka
baik pernyataan a) maupun b) akan sama-sama bernilai benar, namun dengan alasan
yang berbeda. Pernyataan a) bernilai benar karena pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan
ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Sampai detik ini,
belum pernah ada orang yang hidup kekal dan abadi. Pernyataan a) tersebut akan
bernilai salah jika sudah ditemukan suatu alat atau obat yang sangat canggih sehingga
akan ada orang yang tidak bisa mati lagi. Sedangkan pernyataan b) bernilai benar
karena pernyataan itukonsisten atau koheren ataupun tidak bertentangan dengan
DISJUNGSI,
KONJUNGSI, IMPLIKASI, BIIMPLIKASI DAN
NEGASINYA
Adakalanya, kita dituntut untuk
menegasikan atau membuat pernyataan baru yang menunjukkan pengingkaran atas
pernyataan yang ada, dengan menggunakan perakit “bukan” atau “tidak”. Di
samping itu, mereka harus menggabungkan duapernyataan atau lebih dengan
menggunakan perakit “atau”, “dan”, “Jika ... maka ....”, maupun “... jika dan
hanya jika ....” yang dikenal di matematika sebagai konjungsi, disjungsi,
implikasi danbiimplikasi. Bagian ini
akan membahas perakit-perakit tersebut.
C.
PERAKIT/PERANGKAI
Perakit atau perangkai ini sering
juga disebut dengan operasi. Dari satu atau dua pernyataan tunggal dapat diberikan
perakit “tidak” , “dan”, “atau”, “jika ... maka ...”, dan “ ... jika dan hanya
jika ... “ sehingga terbentuk suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi,
dan biimplikasi. Sub bagian ini akan membahas tentang perakit atau penggandeng
tersebut.
1. Negasi
Jika p adalah "Surabaya ibukota
Jawa Timur.", maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah
~p yaitu: "Surabaya bukan ibukota Jawa Timur." atau "Tidak benar
bahwa Surabaya ibukota Jawa Timur.". Dari contoh di atas nampak jelas
bahwa p merupakan pernyataan yang bernilai benar karena Surabaya pada kenyataannya
memang ibukota Jawa Timur, sehingga ~p akan bernilai salah. Namun jika p
bernilai salah maka ~p akan bernilai benar seperti ditunjukkan oleh tabel
kebenaran di bawah ini.
p
|
~p
|
B
S
|
S
B
|
2. Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan
majemuk yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi
berikut : "Fahmi makan nasi dan minum kopi." Pernyataan tersebut
ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut: "Fahmi makan nasi."
dan sekaligus "Fahmi minum kopi." Dalam proses pembelajaran di kelas, berilah kesempatan kepada
para siswa untuk
bertanya kepada diri mereka sendiri,
dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana
bernilai salah dalam empat kasus berikut, yaitu: (1) Fahmi memang benar makan
nasi dan ia juga
minum kopi, (2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi, (3) Fahmi tidak
makan nasi namun ia minum kopi, dan (4) Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak
minum kopi.: Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga
minum kopi. Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin Anda akan mengatakan
pernyataan Adi tadi bernilai salah. Alasannya, pernyataan Adi tadi sesuai dengan
kenyataannya. Pada kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam
hal ini, tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi
bernilai salah karena meskipun Fahmi sudah makan nasi namun ia tidak minum kopi
sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sejalan dengan itu, pada kasus ketiga,Fahmi
tidak makan nasi meskipun ia sudah minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi,
Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena
Fahmi tidak makan nasi sebagaimana yang dinyatakan Adi bahwa Fahmi makan nasi dan
minum kopi. Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak
minum kopi. Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi
tadi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan
kenyataan yang sesungguhnya. Berdasar penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan
bahwa suatu konjungsi p ∧
q akan bernilai benar hanya jika
komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai benar, sedangkan
nilai kebenaran yang selain itu akan bernilai salah sebagaimana ditunjukkan
pada tabel kebenaran berikut.kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi.
Dalam hal ini, tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi
bernilai salah karena meskipun Fahmi sudah makan nasi namun ia tidak minum kopi
sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sejalan dengan itu, pada kasus ketiga, Fahmi
tidak makan nasi meskipun ia sudah minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, Anda akan menyatakan
bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena Fahmi tidak makan nasi
sebagaimana yang dinyatakan Adi bahwa Fahmi makan nasi dan minum kopi. Akhirnya,
pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.Dalam hal
ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena
tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang sesungguhnya.
Berdasar penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika komponen-kompone nnya, yaitu
baik p maupun q, keduanya bernilai benar, sedangkan nilai kebenaran yang selain
itu akan bernilai salah sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
P
|
q
|
p
∧ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
3. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk
yang menggunakan perakit "atau". Contohnya, pernyataan Adi berikut:
"Fahmi makan nasi atauminum kopi." Sekarang, bertanyalah kepada diri
Andasendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas akan bernilai benar dalam
empat kasus berikut, yaitu: (1) Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum
kopi, (2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum
kopi, (3) Fahmi tidak makan nasi
namun ia minum kopi, dan (4) Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Pada
kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi. Dalam
kasus seperti ini, tidaklah mungkin Anda akan mengatakan pernyataan Adi tadi
bernilai salah, karena pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya. Pada
kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum
kopi. Dalam hal ini, tentunya Anda
akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai benar karena Fahmi
sudah benar makan nasi meskipun ia tidak minumkopi sebagaimana yang dinyatakan
Adi. Sedangkan pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi. Sebagaimana
kasus kedua tadi, Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi
bernilai benar karena meskipun Fahmi tidak makan nasi
namun ia sudah minum kopi
sebagaimana yang dinyatakan Adi. Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak
makan nasi dan ia tidak minum kopi. Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa
pernyataan majemuk Adi tadi bernilai
salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang
sesungguhnya. Ia menyatakan Fahmi makan nasi atau minum
kopi namun kenyataannya, Fahmi tidak
melakukan hal itu.Berdasar penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu
disjungsi p ∨q akan
bernilai salah hanya jika
komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang
selain itu akan bernilai benar sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran
berikut:
p
|
q
|
p
˅ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
4. Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan p dan q.
Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah
menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q
bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata
"Jika" sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga kata
"maka" di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga
didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan
bersyarat, kondisional atau hypothetical dengan notasi "⇒" seperti ini: p ⇒q
Notasi di atas dapat dibaca dengan :
1) Jika p maka q,
2) q jika p,
3) p adalah syarat cukup untuk q,
atau
4) q adalah syarat perlu untuk p.
Implikasi p ⇒q merupakan pernyataan majemuk yang paling sulit dipahami
para siswa SMU. Untuk membantu para siswa memahami kalimat majemuk implikasi
tersebut, Bapak dan Ibu Gurudapat memulai proses pembelajaran dengan
berceritera bahwa Adi menyatakan pernyataan majemuk berikut ini:
Jika hari hujan maka saya (Adi)
membawa payung. Dalam hal ini dimisalkan:
p: Hari hujan. q: Adi membawa
payung.
Berilah kesempatan bagi siswa untuk
berpikir, dalam hal manakahpernyataan Adi tadi akan bernilai benar atausalah
untuk empat kasus berikut, yaitu: (1) Hari benar-benar hujan dan Adi
benar-benar membawa payung, (2) Hari benar-benar hujan namun Adi tidak membawa
payung, (3) Hari tidak hujan
namun Adi membawa payung, dan (4)
Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung. Pada kasus pertama, hari
benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung sebagaimana yang ia
nyatakan. Bagaimana
mungkin ia akan dinyatakan berbohong
dalam kasus ini? Dengan demikian jelaslah bahwa kedua komponen yang sama-sama
bernilai benar itu telah menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang
dinyatakan Adi tadi
akan bernilai benar. Pada kasus
kedua, hari itu benar-benar hujan akan tetapi Adi tidak membawa payung
sebagaimana yang seharusnya ia lakukan seperti yang telah dinyatakannya,
bagaimana mungkin pernyataan
Adi tadi akan dinilai benar? Dengan
kata lain, komponen p yang bernilai benar namun tidak diikuti dengan komponen q
yang seharusnya bernilai benar juga, akan menyebabkan pernyataan majemuk
(implikasi) yang
dinyatakan Adi tadi akan bernilai
salah. Akhirnya, untuk kasus ketiga dan keempat, di mana hari itu tidak hujan,
tentunya Anda tidak akan menyebut pernyataan majemuk (implikasi) Adi tersebut
sebagai pernyataan yang salah, karena Adi hanyalah menyatakan bahwa sesuatu
akan terjadi yaitu dia akan membawa payung jikalau hari hujan. Dengan demikian
jelaslah bahwa implikasi p ⇒q hanya akan bernilai salah untuk
kasus kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah, sedangkan yang
selain itu implikasi p ⇒q akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran
berikut ini:
p
|
q
|
p ⇒ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
5. Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional
adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p
⇔q yang bernilai sama dengan (p ⇒q) ∧(q ⇒p) sehingga dapat dibaca: "p jika dan hanya jika
q"
atau "p bila dan hanya bila
q." Tabel kebenaran dari p⇔q adalah :
p
|
q
|
p
⇔q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
Dengan demikian jelaslah bahwa
biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika kedua
pernyataan tunggalnya bernilai sama. Contoh biimplikasi:
1. Suatu segitiga adalah segitiga
siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan
jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.
2. Suatu segitiga adalah segitiga
sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.
D. INGKARAN
ATAU NEGASI SUATU PERNYATAAN
1. Negasi Suatu Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk
yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi berikut : "Fahmi
makan nasi dan
minum kopi." Pernyataan
tersebut ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut: "Fahmi makan
nasi." dan sekaligus "Fahmiminum kopi." Suatu konjungsi p ∧q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu
baik p maupun q, keduanya bernilai benar. Sedangkan negasi atau
ingkaran suatu pernyataan adalah
pernyataan lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah dan
bernilai salah jika pernyataan awalnya
bernilai benar. Karena itu,
negasidari: "Fahmi makan nasi danminum kopi." adalah suatu pernyataan
majemuk lain yang salah satu komponennya mer
upakan negasi dari komponen pernyataan
awalnya. Dengan demikian, negasinya adalah “"Fahmi tidak makan nasi atau
tidak minum kopi."; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
p
|
q
|
p ∧q
|
~p
|
~q
|
~p ∨~q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
S
B
B
B
|
2. Negasi Suatu Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk
yang menggunakan perakit "atau".
Contohnya, pernyataan Adi berikut:
"Fahmi makan nasi atau minum kopi." Suatu disjungsi p ∨q
akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q,
keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar. Karenanya, negasinya
adalah "Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi," sebagaimana ditunjukkan
tabel kebenaran berikut:
P
|
q
|
p
∨ q
|
~
p
|
~q
|
~p
∧~q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
S
S
S
B
|
3. Negasi Suatu Implikasi
Perhatikan pernyataan berikut yang
merupakan suatu implikasi: “Jika hari hujan maka Adi membawa payung.” Negasi
dari implikasi di atas adalah: “H
ari hujan akan tetapi Andi tidak
membawa payung.” sehingga ~(p ⇒q) ≡ p ∧ ~q seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:
P
|
q
|
~q
|
p
⇒q
|
p
∧~q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
B
S
B
B
|
S
B
S
S
|
4. Negasi Suatu Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional
adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p
⇔ q yang ekuivalen (p ⇒q)
∧(q ⇒p); sehingga: ~ (p ⇔q)
≡~[(p
⇒q) ∧(q ⇒p)] ≡ ~[(~p
∨q) ∧(~q ∨p)] ≡ ~(~p∨q) ∨~(~q ∨p)] ≡ (p
∧~q) ∨(q ∧~p)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar