Relasi dan Identitas Dasar

Relasi dan Identitas Dasar

RELASI – RELASI DASAR

Relasi Kebalikan                              Relasi hasilbagi                                   Relasi Pythagorean

Cosec θ = 1 / sinθ                             Tan θ = sin θ / cos θ                             Sin² θ + cos² θ = 1

Sec θ = 1 / cosθ                                 Cot θ = cos θ / sin θ                            1 + tan² θ = sec² θ

Cot θ = 1 / tanθ           

                                                                                                           

 Relasi – relasi diatas berlaku untuk setiap nilai θ dimana fungsi – fungsi tersebut terdefenisi. Jadi Sin² θ + cos² θ = 1 berlaku untuk setiap θ sedangkan tan θ = sin θ / cos θ berlaku untuk semua nilai θ dimana tan θ terdefenisi, yaitu untuk semua θ ≠ n . 90⁰ dimana n ganjil. Perhatikan bahwa untuk nilai tan θ yang tidak terdefenisi, cos θ = 0 dan sin θ ≠ 0.

Sebagai bukti dari relasi hasilbagi dan relasi Pythagorean, lihat soal 28.1- 28.2. Relasi kebalikan telah dibahas.

PENYEDERHANAAN PERNYATAAN – PERNYATAAN TRIGONOMETRI

Contoh 1

( a ) Dengan menggunakan csc θ = 1 / sin θ, maka cos θ csc θ = cos θ 1 / sin θ = cos θ / sin θ = cot θ

( b ) Dengan menggunakan tan θ = sin θ / cos θ, maka cos θ tan θ = cos θ sin θ / cos θ = sin θ

Contoh 2:  Dengan menggunakan relasi Sin² θ + cos² θ = 1

( a ) sin³ θ + sin θ cos² θ = ( sin² θ + cos² θ ) sin θ – ( 1 ) sin θ = sin θ.

( b ) cos²  θ/ 1- sin θ = 1 - sin² θ/ 1 – sin θ = ( 1 – sin θ ) ( 1+ sin θ)/ 1- sin θ = 1 + sin θ

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Suatu relasi yang melibatkan fungsi – fungsi trigono yang berlaku untuk semua nilai sudut dimana fungsi – fungsi tersebut terdefenisi disebut identitas trigonometri.

Contoh 1

Sin θ . sec θ = tan θ

Penyelesaian :

= Sin θ . 1/ cos θ = tan θ

= sin θ / cos θ = tan θ

= tan θ = tan θ

Contoh 2

( 1 – sin² A ) ( 1+ tan²A) = 1

= cos² A - sec² A = 1

=cos²A – 1/ cos²A= 1

Cos²A/ cos²A = 1

Contoh 3

( 1 – cos θ ) ( 1+ sec θ ) cot θ = sin θ

= ( 1- cos θ ) ( 1+ 1/ cos θ).- 1/ tan θ = sin θ

= ( 1+ 1/ cos θ.cos θ – 1)- 1/ tan θ = sin θ

= 1/ cos θ – cos θ) 1/ tan θ = sin θ

= ( 1/ cos θ – cos θ.cos θ/ cos θ)1/tan θ = sin θ

= ( 1- cos² θ/cos θ). 1/ tan θ = sin θ

= 1- cos² θ/ cos θ.tan θ = sin θ

= sin² θ/ cos θ. Sin θ/sin θ= sin θ

Sin² θ/ sin θ = sin θ

Sin θ  = sin θ

Fungsi Trigonometri dari Dua Sudut

RUMUS-RUMUS PENAMBAHAN

Sin (α +β ) = sin α cos β + cos α sin β

Cos (α +β ) = cos α cos β – sin α sinβ

Tan (α +β ) = tan α + tan β / 1 – tanα tan β

RUMUS RUMUS PENGURANGAN

Sin ( α –β ) = sin α cos β – cos α sin β

Cos (α –β ) = cos α cos β + sin α sin β

Tan (α –β ) = tan α – tan β / 1 + tan α tan β

RUMUS- RUMUS SUDUT GANDA

Sin 2α = 2 sin α cos α

Cos 2α = cos²α – sin² α = 1 -2 sin²α = 2 cos²α – 1

Tan 2α = 2tan α / 1- tan²α

Contoh 1

Buktikan

a.       Sin (α + β ) – sin (α -  β ) = 2 cos α sin β

Sin α cos β + cos α sin β – ( sin α cos  β - cos α sin β ) = 2 cos α sin β

Cos α sin β + cos α  sin β = 2 cos α sin β

2 cos α sin β = 2 cos cos α sin β    TERBUKTI

b.      Tan ( 45⁰ – θ) = 1- tan θ/ 1 + tan θ

Tan 45⁰ – tan θ/ 1 + tan 45⁰ tan θ = 1 – tan θ/ 1 + tan θ

1 – tan θ / 1+ ( tan θ) = 1 – tan θ / 1 + tan θ

1 – tan θ / 1 + tan θ = 1- tan θ / 1 – tan θ    TERBUKTI

Contoh 2

Carilah nilai- nilai sin (α + β , cos (α + β ) jika diketahui,

a.       Sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

      = 3/5 . 5/ 13 + 4/5. 12/ 13

     = 3 / 13 + 48 / 65

     = 63/ 65

b.      Cos (α + β ) = cos α cos β + sin α sin β

       = 4/5. 5/ 13 – 3/5. 12/13

       = 4/ 13 – 36/ 65

       = 20/65 – 36/ 65

       = -16/ 65

Contoh 3

Cos α = -12/ 13 cot β = 24/ 7 α dikuadratkan II β dikuadratkan III

Jawab

Sin (α + β) = sin α cos β +cos α sin β

                 = 5/13. 24/ 25 +-12/ 13.7/25

                 = -36/325

Cos (α + β) = cos α cos β +sin α sin β

                  = -12/ 13. 24/25 – 5/ 13. 7/25

                  = 323/ 325

Contoh 4

Buktikan

Sin (α + β) / cos (α + β) = tan x + tan y / 1 + tan x tan y

Tan x + tan y / 1 + tan x tan y = sin x / cos x + sin y / cos y/ 1 – sin x / cos x sin y / cos y = tan x + tan y / 1 + tan x tan y

Tan ( 45⁰ +θ ) cos θ + sin θ / cos θ – sin θ

Tan ( 45⁰ +θ ) = tan θ + tan β / 1 – tan  α tan β

                      = sin 45 / cosθ + sinθ / cos 45/ 1 – sin 45 / cos θ sinθ/ cos 45

                      = cos θ + sin θ / cos θ – sin θ