Model Matematika

Pengertian Pemodelan Matematika merupakan salah satu tahap dari pemecahan masalah matematika. Model merrupakan Simplifikasi atau penyederhanaan

fenomena – fenomena nyata dalam bentuk matematika. Model matematika yang dihasilkan, dapat berupa bentuk persamaan,pertidaksamaan, sistem persamaan atau lainnya terdiri atas sekumpulan lambang yang disebut variabel atau besaran yang kemudian di dalamnya digunakan operasi matematika seperti tambah, kali, kurang, atau bagi. Dengan prinsip-prinsip matematika tersebut dapat dilihat apakah model yang dihasilkan telah sesuai dengan rumusan sebagaimana formulasi masalah nyata yang dihadapi. Hubungan antara komponen-komponen dalam suatu masalah yang dirumuskan dalam suatu persamaan matematik yang memuat komponen-komponen itu sebagai variabelnya, dinamakan model matematik. Dan proses untuk memperoleh model dari suatu masalah dikatakan pemodelan matematika.

Kegunaan yang dapat diperoleh dari model matematika ini antara lain:

1. Menambah kecepatan, kejelasan, dan kekuatan-kekuatan gagasan dalam jangka waktu yang relatif singkat,
2. Deskripsi masalah menjadi pusat perhatian,
3. Mendapatkan pengertian atau kejelasan mekanisme dalam masalah,
4. Dapat digunakan untuk memprediksi kejadian yang akan muncul dari suatu fenomena atau perluasannya,
5. Sebagai dasar perencanaan dan control dalam pembuatan kebijakan, dan lain-lain.

Langkah – langkah pembentukan model matematika

1. Identifikasi Masalah'
2. Asumsi
3. Manipulasi Matematik
4. Interpretasi
5. Validasi Mode

Model Matematika dari Masalah Program Linear dua variabel

Pada hakikatnya merancang atau membuat model matematika dalam suatu masalah program linear adalah menentukan fungsi tujuan beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear tersebut.
    Dalam amerancang suatu model matematika diperlukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam sebuah table
2. Tetapkan besaran masalah di dalam saoal sebagai variable-variabel (dinyatakan dalam huruf-huruf)
3. Buatlah system pertidaksamaan linear dari hal-hal yang sudah di ketahui
4. Tentukan fungsi tujuan (fungsi objektif), yaitu fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan (kalau ada)

Contoh soal

1.      Pak Adi merupakan seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang dapat memuat 600 bungkus roti. Roti yang dijualnya yaitu roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing  Rp 5.500,00 untuk roti manis dan Rp 4.500,00 untuk roti tawar per bungkusnya. Dari penjualan roti tersebut, beliau memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki oleh Pak Budi adalah Rp 600.000, buatlah model matematika agar beliau dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!

Penyelesaian :

Permasalahan Pak Adi diatas  dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti manis sebgai x dan roti tawar sebagai y sehingga diperoleh tabel sebagai berikut

Berdasarkan tabel diatas jika kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear menjadi

x+y≤600,
5.500x+4.500y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0

Dua pertidaksamaan terakhir (baris ketiga) menunjukkan syarat dari nilai x dan y. Dikarena x dan y merupakan pernyataan yang menyatakan banyaknya roti, maka tidak mungkin nilai x dan y bernilai negatif.

Perhatikan kolom keempat dari tabel di atas yang menyatakan fungsi yang akan ditentukan nilai maksimumnya (nilai optimum). Fungsi tersebut dapat dituliskan dalam persamaan matematika sebagai berikut.

f(x,y) = 500x + 600y

.

2.      Pak Dahlan akan menambah dagangan helmnya. Dengan keterbatasan tempat, helm jenis A dan jenis B tidak melebihi 50 helm. Harga pembelian helm jenis A Rp120.000,00 dan harga helm jenis B Rp90.000,00. Dari penjualan helm-helm tersebut diperoleh keuntungan Rp30.000,00 untuk setiap helm jenis A dan Rp25.000,00 untuk setiap helm jenis B. Jika model pedagang tersebut Rp5.400.000,00, Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Jawaban:

Misalkan:        x = banyak helm jenis A

                        y = banyak helm jenis B

Model sistem pertidaksamaan

x + y ≤ 50      . . . (1)

120.000x + 90.000y  ≤ 5.400.000

                  4x + 3y ≤ 180       . . . (2)

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 25.000y

Grafik sistem pertidaksamaan

 

Menentukan titik potong B.

 x + y = 50             × 4  4x + 4y  = 200

4x + 3y = 180        × 1  4x + 3y  = 180

                                      ---------------------- -

                                                    y      = 20

Substitusikan y = 20 ke dalam persamaan (1)

x + 20 = 50        atau  x = 50 – 20

                                    x = 30

Diperoleh titik B(30, 20)

Uji titik pojok

f(x, y) = 30.000x + 25.000y
(0, 50) (30, 20) (45, 0)	30.000 × 0 + 25.000 × 50 = 1.250.000 30.000 × 30 + 25.000 × 20 = 1.400.000 30.000 × 45 + 25.000 × 0 = 1.350.000

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Pak Dahlan sebesar Rp1.400.000,00

3. Andi membeli 3 baju dan 5 celana dengan harga total Rp 350.000,-
Sedangkan Budi yang hanya membeli 1 baju dan 1 celana harus membayar Rp 90.000,-
Jika harga masing-masing sebuah baju dan sebuah celana adalah x dan y, buatlah model matematika untuk persoalan tersebut!

Jawab:

Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Andi diperoleh hubungan:
3x + 5y = 350.000

Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Budi diperoleh hubungan:
x + y = 90.000

Karena harga baju maupun celana tidak mungkin negatif ataupun gratis, maka x > 0 dan y > 0
Jadi, model matematikanya adalah:
x > 0 , y > 0 , 3x + 5y = 350.000 dan x + y = 90.000