Perpotongan Garis

Perpotongan Garis Geometri Analitik

A. Perpotongan Garis-Garis Titik potong antar dua garis, berarti titik itu terletak pada garis pertama maupun pada garis kedua. Mencari koordinat titik potong antara dua garis adalah mencari penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan dua variable[1]. Tinjau dua persamaan linier 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0, dan 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 dengan 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ≠ 0. Tiap persamaan linier ini mewakili sebuah garis pada bidang. Namakanlah garis-garis tersebut l1 dan l2. Karena sebuah titik (x,y) terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika bilangan-bilangan x dan y memenuhi persamaan garis tersebut, maka pemecahan sistem persamaan tersebut akan bersesuaian dengan titik perpotongan dari garis l1 dan l2. Adapun dua buah garis kita katakan bepotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua garis tersebut berpotongan disalah satu titiknya. Ada tiga kemungkinan: a. Garis l1 mungkin sejajar dengan garis l2, dimana di dalam kasus ini tidak ada perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka tidak ada pemecahan untuk sistem tersebut. b. Garis l1 mungkin berpotongan dengan garis l2 di hanya satu titik, dimana dalam kasus ini kedua garis tersebut mempunyai satu titik potong sehingga sistem persamaan tersebut mempunyai satu pemecahan. c. Garis l1 mungkin berimpit dengan garis l2, dimana dalam kasus ini terdapat tak terhingga banyaknya titik perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka tak terhingga banyaknya pemecahan untuk sistem tersebut. Hal tersebut digambarkan dalam grafik berikut[4]: (a) (b) (c) x y x y x y l1 l2 l1 l1 l2l2

1.  Perpotongan Garis-Garis 3 Gambar 1 (a) Tidak ada pemecahan, (b) Satu Pemecahan, (c) Tak terhingga banyaknya pemecahan.
2. B. Menentukan Titik Potong Garis Menurut aljabar ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, antara lain dengan metode subtitusi, eliminasi, matriks, dan determinan1.
3.  Menggunakan Metode Subtitusi: Untuk mencari titik potong terhadap kedua garis menggunakan metode subtitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel ke dalam variabel lainnya pada salah satu persamaan, kemudian mensubtitusikannya ke persamaan lain. Contoh 1: Tentukan titik potong dari persamaan berikut: 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑥 − 2𝑦 = 0 Penyelesaian: Misalkan, 3𝑥 − 𝑦 = 10… … …… … … ( 𝑖) 𝑥 − 2𝑦 = 0 …… … …… … . (𝑖𝑖) · Cara 1 (mensubtitusi y) Pada persamaan (i) nyatakan variable y ke dalam variable x: 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑦 = 3𝑥 − 10… … .. (𝑖𝑖𝑖) Subtitusikn persamaan (iii) ke persaman ke persamaan (ii): 𝑥 − 2𝑦 = 0 → 𝑥 − 2(3𝑥 − 10) = 0 ↔ 𝑥 − 6𝑥 + 20 = 0 ↔ −5𝑥 + 20 = 0 ↔ −5𝑥 = −20 ↔ 𝑥 = −20 −5 ↔ 𝑥 = 4 Subtitusikan x = 4 ke persamaan ke (iii):
4.  Perpotongan Garis-Garis 4 𝑦 = 3𝑥 − 10 → 𝑦 = 3(4) − 10 ↔ 𝑦 = 12 − 10 ↔ 𝑦 = 2 𝑗𝑎𝑑𝑖,titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2) · Cara 2 (Mensubtitusi x): Pada persamaan (ii), nyatakan variable x ke dalam variable y: 𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑥 = 2𝑦 …… … …(𝑖𝑣) Subtitusikan (iv) ke (i), sehingga menjadi: 3(2𝑦) − 𝑦 = 10 ↔ 5𝑦 = 10 ↔ 𝑦 = 2 Subtitusikan y = 2 ke (iv): 𝑥 = 2𝑦 ↔ 𝑥 = 2(2) ↔ 𝑥 = 4 Jadi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2) 2. Menggunakan Metode Eliminasi: Untuk mencari titik potong terhadap kedua garis menggunakan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya. Contoh 2: Tentukan titik potong dari persamaan berikut: 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑥 − 2𝑦 = 0
5. Penyelesaian: Misalkan, 3𝑥 − 𝑦 = 10… … …… … … ( 𝑖) 𝑥 − 2𝑦 = 0 …… … …… … . (𝑖𝑖) Mengeliminasi/menghilangkan x:
6. Perpotongan Garis-Garis 5 3𝑥 − 𝑦 = 10 × 1 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑥 − 2𝑦 = 0 × 3 3𝑥 − 6𝑦 = 0 5𝑦 = 10 𝑦 = 2 Mengeliminasi/menghilangkan y: 3𝑥 − 𝑦 = 10 × 2 6𝑥 − 2𝑦 = 20 𝑥 − 2𝑦 = 0 × 2 𝑥 − 2𝑦 = 0 5𝑥 = 20 𝑥 = 4 Jadi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2) 3. Matriks Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks yaitu mengubah bentuk persamaan ke dalam bentuk matriks. Selanjutnya matriks tersebut di selesaikan untuk mencari titik (x,y) dimana pada metode matriks ini juga menggunakan invers pada matriks. Berikut langkah-langkah untuk mencari titik potong garis dalam sebuah sistem persamaan menggunakan metode matriks. Bentuk umum persamaan linear: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 → 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 → 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 Di ubah dalam bentuk matriks menjadi; ( 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 ) ( 𝑥 𝑦 ) = ( −𝑐1 −𝑐2 ) Pada matriks, jika A = ( 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 ) maka: 𝐴−1 = 1 det 𝐴 ( 𝑏2 −𝑏1 −𝑎2 𝑎1 ) = 1 𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1 ( 𝑏2 −𝑏1 −𝑎2 𝑎1 ) Sehingga diperoleh: ( 𝑥 𝑦 ) = 1 𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1 ( 𝑏2 −𝑏1 −𝑎2 𝑎1 ) (−𝑐 −𝑐 )
7. Contoh Selesaikan system persamaan linear berikut dengan matriks! { 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑥 − 2𝑦 = 0 [
8.  Perpotongan Garis-Garis 6
9. Penyelesaian: Kita nyatakan dulu system persamaan tersebut dalam bentuk matriks, yaitu: ( 3 −1 1 −2 )( 𝑥 𝑦 ) = ( 10 0 ) Sehingga: ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = 1 3(−2)− 1 − (−1) ( −2 1 −1 3 ) ( 10 0 ) ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = 1 −6 + 1 ( −2 1 −1 3 )( 10 0 ) ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = 1 −5 ( −2(10)+ 1(0) −1(10)+ 3(0) ) ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = 1 −5 ( −20 −10 ) ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = ( 4 2 ) Diperoleh nilai x = 4 dan y = 2, sehingga koordinat titik pototng kedua persamaan garis tersebut yaitu (4,2) 4. Determinan Selain menggunakan sifat invers pada matriks (metode ke-3) dalam mencari titik potong dari suatu sistem persamaan garis juga dapat diselesaikan dengan determinan. Bentuk umum persamaan garis yaitu: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 , maka: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 , Jika diselesaikan dengan metode eliminasi, maka di dapat: Eliminasi y: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 × 𝑏2 → 𝑎1 𝑏2 𝑥 + 𝑏1 𝑏2 𝑦 = −𝑐1 𝑏2 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 × 𝑏1 → 𝑎2 𝑏1 𝑥 + 𝑏1 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 𝑏1
10. Perpotongan Garis-Garis 7 ⇔ 𝑎1 𝑏2 𝑥 − 𝑎2 𝑏1 𝑥 = −𝑐1 𝑏2 + 𝑐2 𝑏1 ⇔ 𝑥(𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1) = −𝑐1 𝑏2 + 𝑐2 𝑏1 ⇔ 𝑥 = 𝑐2 𝑏1 − 𝑐1 𝑏2 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 Diperoleh 𝑥 = 𝑐2 𝑏1−𝑐1 𝑏2 𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1 , atau dapat dituliskan dengan 𝑥 = | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | dimana | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | = 𝑐2 𝑏1 − 𝑐1 𝑏2 yang tidak lain merupakan determinan dari ( −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 ). Eliminasi x: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 × 𝑎2 → 𝑎1 𝑎2 𝑥 + 𝑏1 𝑎2 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 × 𝑎1 → 𝑎2 𝑎1 𝑥 + 𝑎1 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 𝑎1 ⇔ 𝑏1 𝑎2 𝑦 − 𝑎1 𝑏2 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 + 𝑐2 𝑎1 ⇔ 𝑦( 𝑏1 𝑎2 − 𝑎1 𝑏2) = −𝑐1 𝑎2 + 𝑐2 𝑎1 ⇔ 𝑦 = 𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐1 𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 ⇔ 𝑦 = 𝑎2 𝑐1 − 𝑎1 𝑐2 𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 Diperoleh 𝑦 = 𝑎2 𝑐1−𝑎1 𝑐2 𝑎2 𝑏1−𝑎1 𝑏2 , atau dapat dituliskan dengan 𝑦 = | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | dimana | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | = 𝑎2 𝑐1 − 𝑎1 𝑐2 yang tidak lain merupakan determinan dari ( 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 ).
11. Contoh Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan determinan! { 3𝑥 − 𝑦 − 10 = 0 𝑥 − 2𝑦 = 0

12.  Perpotongan Garis-Garis 8

13.  Penyelesaian: 𝑥 = | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | , maka: ⇔ 𝑥 = | −(−10) −1 −(0) −2 | | 3 −1 1 −2 | = 0(−1)− (10)(−2) 1(−1)− 3(−2) = 20 5 = 4 𝑦 = | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | , maka: ⇔ 𝑦 = | 3 −(−10) 1 −(0) | |3 −1 1 −2 | = 1(10) − 3(0) 1(−1) − 3(−2) = 10 5 = 2 Diperoleh koordinat titik potong dari sistem persamaan tersebut yaitu (4,2) Gambar 2 Pasangan x dan y adalah koordinat titik potong dari garis l1 dan l2. Kita tinjau berbagai kemungkinan. [8] Perhatikan contoh berikut:

14. Contoh 1. Carilah koordinat titik potong antara 𝑔1: 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 dan garis 𝑔2: 𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0. Secara determinan: 1 1 (0,0) (2,1) (4,2) (0,10/3) x-2y=0 3x-y-10=0

15.  Perpotongan Garis-Garis 9

16.  Penyelesaian: 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0 𝑥 = | −3 −1 4 3 | | 2 −1 1 3 | = −9 + 4 6 + 1 = − 5 7 𝑦 = | 2 −3 1 4 | | 2 −1 1 3 | = 8 + 3 6 + 1 = 11 7 Jadi titik potong 𝑔1 dan 𝑔2 adalah titik (− 5 7 , 11 7 ) Gambar 3 Terlihat | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ≠ 0 atau | 2 −1 1 3 |= 6 + 1 = 7, 𝑑𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 1 ≠ 11 7 dan kedua garis tersebut perpotongan pada satu titik yaitu (− 5 7 , 11 7 ). Contoh 2: Diketahui persamaan garis berikut: { 3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 6𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 Tentukan titik potong serta sketsakan grafiknya! Penyelesaian: 𝑥 = | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | maka: Kesimpulannya yaitu: Jika | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ≠ 0, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 maka dua garis tersebut berpotongan di satu titik. [9] 1 1 (-5/7,11/7) (1,1) (0,3) (1,5) (4,0) 2x-y+3=0 x+3y-4=0
17. . Perpotongan Garis-Garis 10 ⇔ 𝑥 = | −(−5) −1 −(−4) −2 | | 3 −1 6 −2 | = 4(−1)− 5(−2) 6(−1)− 3(−2) = −4 + 10 −6 + 6 = 6 0 = ∞ 𝑦 = | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | , maka: ⇔ 𝑦 = | 3 −(−5) 6 −(−4) | | 3 −1 6 −2 | = 6(5)−3(4) 6(−1)−3(−2) = 30−12 −6+6 = 18 0 = ∞ Gambar 4 Terlihat | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = 0 atau | 3 −1 6 −2 |= 6(−1)− 3(−2) = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 𝑎𝑡𝑎𝑢 3 6 = −1 −2 dan kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong.
18. Contoh 3. Diketahui persamaan garis berikut: { 3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 6𝑥 − 2𝑦 − 10 = 0 Tentukan titik potong serta sketsakan grafiknya! 1 1 (1,-2) (0,-5) (0,-2) (1,1) 6x-2y-4=0 3x-y-5=0 Kesimpulannya yaitu: Jika | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = 0, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 𝑑𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 ≠ 𝑐1 𝑐1 maka garis tersebut sejajar (dianggap tidak berpotongan).
19. Perpotongan Garis-Garis 11
20.  Penyelesaian: 𝑥 = | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | maka: ⇔ 𝑥 = | −(−5) −1 −(−10) −2 | | 3 −1 6 −2 | = 10(−1)− 5(−2) 6(−1)− 3(−2) = −10 + 10 −6 + 6 = 0 0 = ∞ 𝑦 = | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | , maka: ⇔ 𝑦 = | 3 −(−5) 6 −(−10) | | 3 −1 6 −2 | = 6(5) − 3(10) 6(−1) − 3(−2) = 30 − 30 −6 + 6 = 0 0 = ∞ Terlihat bahwa kedua persamaan garis tersebut memiliki tak hingga banyak titik koordinat yang berpotongan diantara kedua garis tersebut. Meskipun pada contoh 2 diperoleh titik (x,y) = (∞,∞) namun pendefinisiannya berbeda. Pada contoh 2 kedua garis tersebut sejajar (tidak ada titik perpotongan) sedangkan pada contoh ini kedua garis tersebut berpotongan pada semua titik atau garis itu sendiri. Hal itu dapat dilihat pada grafik dibawah ini. Gambar 5 1 1 6x-2y-10=0 (0,-5) (1,-2) (2,1) 3x-y-5=0